matematika - kombinatorika Premutáció Def: n számú egymástól különbözô elem egy meghatározott sorrendjét az n elem egy permutációjának nevezzük. jelölése Pn, ahol n az elemek száma Pn = n! Bizonyítás teljes indukcióval: I. n=1-re igaz az állítás II. Tehát az állítás n-re igaz, azaz Pn=n! III. Bizonyítás (n+1)-re Az n+1 elemű halmaznak ragadjuk ki valamely elemét, és ezt tegyük az elsô helyre. A maradék n elemet az indukciós feltevés miatt n! módon tudjuk sorba rendezni. îgy n+1 elemnek olyan permutációja, melyben a megjelölt elem van az elsô helyem, n! van. Az elsô helyen az n+1 elem bármelyike lehet, mindegyikhez tartozik n! permutáció. Igy Pn+1=(n+1)*n!=(n+1)! Ismétléses permutáció: Def: Legyen n számú elemünk, melyek közt rendre k1,k2,...kl számú egymás közt megegyezô elem található. Ezeknek egy meghatározott sorrendjet az n elem egy ismétléses permutációjának nevezünk. k összes ismétléses permutációk számát [pic] Variációk Def: n különbözô elembôl tetszôlegesen választott k (k<=n) különbözô elem egy meghatározott sorrendjét az n elem egy k-adosztályú variációjának nevezzük. Az n egymástól különbözô elem összes k-adosztályú variációjának száma Vnk [pic] Ismétléses variációk Def: Legyen n számú különbözô elemünk. Ha ezekbôl bármilyen k elemtôl álló csoportot választunk ki, melyben ugyanaz az elem többször is szerepelhet, és az elemek sorrendjét is figyelembe vesszük, akkor az n elem egy k- adosztályú ismétléses variációk száma: Vn k,i = nk Kombináció Def: Legyen n számú egymástól különbözô elemünk. Ezekbôl k (k<=n) elembôl álló csoportokat készítünk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott k elem sorrendjére nem vagyunk tekintettel. E csoportok az n elem k-adosztályú kombinációi; számukat Cn k jelöli. Az n elemű halmaz k-elemű részhalmazait az n elem k-adosztályú kombinációinak nevezzük. Vn k= Cn k * k! [pic] Ismétléses kombináció Def: Legyen n számú különbözô elemünk. Ha ezekbôl k elemet választunk úgy, hogy az egyes elemek többször is szerepeljetnek, és az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációjának nevezzük. Száma: [pic] Valószínűségszámítás: Valameny kísérlettel kapcsolatos esemény bekövetkezéseinek számát a kísérlet n-szeri megközelítése során megszámoljuk. Jelöljük a vizsgált eseményt A-val és a tfh. a kísérletsorozatban az A esemény k-szor következett be. Képezzuk a k/n hányadost, az A eseménynek a kísérletsorozatra jellemzô relatív gyakoriságát. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha egyre több kísérletbôl álló sorozatból határozza meg az A esemény relatív gyakoriságát, akkor a kapott rel. gyakoriságot egyre kisebb mértékben ingadoznak egy rögzített szám körül. Ezt a számot az A esemény valózítµségének nevezzük, és P(A)- val jelöljük. Def: kedvezô elemi események száma valószínűség = ----------------------------------------------- összes elemi esemény száma tulajdonságok: 1. 0<= P(A) <=1 P (lehetetlen esemény) = 0 P (biztos esemény) = 1 Def: A és B két tetszôleges esemény. A+B jelöli azt az eseményt, mely akkor és csak akkor következik be, ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. A*B jelöli azt az eseményt, amely akkor és csak akkor következik be, ha A és B mindegyike bekövetkezik. A és B (két esemény) különbségén (A-B-n) azt az eseményt érjük, amikor A bekövetkezik, de B nem. Def: Két olyan eseményt, amelyek egyidejµleg nem következhetnek be, egymást kizáró eseménynek nevezzük.