I. Halmazok

1. Halmazelmélet
A halmaz és  a  halmaz  elemeinek  fogalmát  alapfogalomnak  tekintjük,  nem
definiáljuk. ( A  halmaz  bizonyos  meghatározott,  különböző  dolgoknak  az
összessége. A halmazt alkotó  objektumok  a  halmaz  elemei.  Egy  halmazban
annak ( eleme csak egyszer fordul elő. )
Egy  halmazt  adottnak  tekintünk,  ha  (  szobajövő  eleméről  egyértelműen
eldöntöttük, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem.
Két halmaz akkor és csak akkor egyértelmű, ha az elemeik azonosak.
Halmazok jelölése : NAGYBETŰ
Halmazok megadása :
     a. vegyes halmazok esetén  a  halmaz  elemeinek  felsorolásával  pl.  :
        A:={hétfő; kedd;...;vasárnap}
      B:={-1,0,1}
     b. a halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával pl. :
           C:={az iskola V.b osztályának tanulói}
           D:={a természetes számok}

Az üres, elem nélküli halmazt üres halmaznak nevezzük
Jelölése : (
A halmaz elemeinek száma jelölésekor a halmazt  abszolút  érték  jelek  közé
rakjuk :
      (A( = 7
      (B( = 3

A halmazok - elemeinek számát tekintve véges,  illetve  végtelen  halmazokat
különböztetünk meg. Pl. :
      Véges :    E:={ x (x egész és -5 ( x ( 5 }
      Végtelen : F:={ az 1 cm sugarú körön belül eső pontok }

Halmaz ábrázolása : a sík valamely tartományával.
Halmaz elemeinek ábrázolása : a tartomány pontjaival.

  E                         B
                           -1          0
                            1

Az  A  halmazt a  B  halmaz részhalmazának nevezünk,  ha  az   A   halmaz  (
eleme a  B  halmaznak is eleme.
Jelölése : A(B ( , ha (x(A -ra x(B
Az  A  halmazt a   B   halmaz  valódi  részhalmazának  nevezzük,  ha  az   A
halmaz részhalmaza  B  -nek, és a   B   halmaznak  van  legalább  egy  olyan
eleme, amely nem eleme  A  -nak.
Jelölése :A( B (( A(B és A(B)
Pl. : X:={10,11,12,13,14}         A ( B ( ,ha x(A -ra x(B  és  (  y(B,  hogy
y(A
       Y:={ x (x ( IN; 10<x<14 }
        Y ( X

2. Műveletek halmazokkal

a. Unióképzés

Az  A  és   B   halmaz  uniójainak  (egyesítéseinek;  összegeinek)  nevezzük
azokat az elemeknek a halmazát,  amelynek  az   A   és   B   halmazok  közül
legalább az egyiknek elemei.
Jelölése : A(B  (vagy az  A  vagy a  B  halmaznak az eleme)
            A                B

                            A(B={ x ( x(A vagy x(B }

                 A(B
Tulajdonságai :
A(A=A                             / idempotencia /
A(B=B(A                     / kommutatív /
(A(B)(C=A((B(C)=A(B(C       / asszociatív /
A((B(C)=(A(B)((A(C)
     A(( B(C)=(A(B)((A(C)         / disztributívitás /

b. Metszet képzés

Az  A  és  B  halmaz  metszetének  (közös  részének;  szorzatának)  nevezzük
azoknak  az  elemeknek  a  halmazát,  amelyek  az   A    és    B    halmazok
mindegyikének elemei.
Jelölése : A(B                   A                      B


                                                  A(B={ x(x(A és x(B }


                                     A(B
Tulajdonságai :
A(A=A                             / idempotencia /
A(B=B(A                     / kommutatív /
(A(B)(C=A((B(C)=A(B(C       / asszociatív /
A((B(C)=(A(B)((A(C)
     A(( B(C)=(A(B)((A(C)         / disztributívitás /

c. Különbségképzés

      Az  A  és  B  halmazok ( ebben  a  sorban  tekintve  )  különbségüknek
nevezzük az  A  halmaz azon elemeinek halmazát,  amelyek  nem  elemei  a   B
halmaznak.
Jelölése : A \ B
                    A            B


                                       A \ B={ x(x(A és x(B }


                        A \ B
Tulajdonságai :                       A                    B
A \ A = (
A \ ( = A
( \ A = (
(A \ B)((B \ A)= (
(A \ B)(B=A(B
A \ B=A \ (A(B)=(A(B) \ B

Az  A  és  B  halmaz diszjunkt, ha metszetük az üres halmaz. Pl. :  ha  B(A,
akkor B ( A\B = (  diszjunkt.






d. Halmaz komplementere ( kiegészítő halmaz )

Egy  H  ( nem üres ) halmaznak legyen egy részhalma  A  . A  H \ A   halmazt
az egy halmaz  H  alaphalmazra vonatkozó komplementerének nevezzük
Jelölése : A
                                                    H        A ( H
                A
                           A


                        A=H \ A
Tulajdonságai :
A(B = A(B
A(B = A(B
A(A = H
A(A = (
A=A

e.) Szimmetrikus differencia

      Két adott halmaz,  A  és  B   szimmetrikus  differenciájának  nevezzük
azt a műveletet így definiáljuk : A    B= (A \ B) ( (B \ A)
Jelölése : A    B                     A                   B





                                      A    B
Tulajdonságai :
A   B = B   A
(A    B)  C = A  (B   C)
A   A = (
A   ( = A
A   (A   B) = B
-----------------------
 -5   1 4   5    2 3
-4  -2      0  -3  -1

B \ A

A \ B

A \ B

B

A \ B

B \ A