A Valószínűségi változó és jellemzői


Definíció  :  Egy  eseménytér   elemi   eseményeihez   egy-egy   számértéket
rendelünk, így egy függvényt értelmezünk, amelyet  valószínűségi  változónak
nevezünk, és ?-vel jelölünk.

Definíció :  Ha  a  ?  valószínűségi  változó  értékkészlete  a  véges  vagy
végtelen  x1,  x2,  x3  ...  xk  sorozat,  akkor  ?-t   diszkrét   eloszlású
valószínűségi változónak nevezzük.

Definíció : A valószínűségi változó folytonos,  ha  lehetséges  értékei  egy
vagy több intervallumot alkotnak.

Definíció  :  A  pk  =  P  (?'xk)  =  P(Ak)  valószínűségeket  a  ?  változó
eloszlásának  nevezzük.  (a  ?  valószínűségi  változó  az  xk  értéket   pk
valószínűséggel  veszi  fel.)  Az  Ak  események   teljes   eseményrendszert
alkotnak, így :
                                    [pic]

Definíció : Eloszlásfüggvény : Egy ?  valószínűségi  változó  F(x)  eloszlás
függvénye azt adja meg, hogy milyen valószínűséggel veszi fel a ? az
x-nél kisebb értéket :
                                F(x) = P (?<x)

tulajdonságai :  a, monoton növekvő F(x2) [pic] F(x1), ha x2 > x1.
                 b, [pic]
                 c, [pic]
                 d, Minden helyén balról folytonos :  [pic]
A diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépcsős :

                              F(X)=P(x<x)=[pic]
Definíció : Egy ? valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük az
f(x) függvényt, ha ezzel a ? valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye
így adható meg :
                                 F(x)=[pic]
Ha  x-nek  létezik  sűrűségfüggvénye,  akkor  F(x)  folytonos,   x-t   pedig
folytonos eloszlású valószínűségi változónak nevezzük.  F'(x) = f(x)
A sűrűségfüggvény tulajdonságai
            a., nemnegatív, azaz  f(x)  0
b., [pic]= 1
Diszkrét valószínűségi változó

a,  ismert eloszlású valószínűségi változó
             lehetséges értékei x1; x2;..............xn
            bekövetkezési valószínűségek : p1;p2;........pn

Ha a ?  -  re  vonatkozóan  n  számú  független  kísérletet  végzünk,  és  a
lehetséges   értékeinek   gyakoriságai   rendre   k1;   k2;    .......    kn
(k1+k2+........kn=n), akkor ? - re kapott értékek számtani közepe :

                                    [pic]
   Ha egyre több kísérletet végzünk , akkor [pic]pi; x[pic] (ez a várható
                                   érték)
Definíció:
                                M (x) = [pic]
           (Ha  n különböző értékeket vesz fel és P (? = xi) = pi)

Ha  végtelen sok értéket vesz fel M(x) =[pic] (de ez csak akkor létezik, ha
ez a sor abszolút konvergens azaz [pic] konvergens.
b., folytonos valószínűségi változó várható értéke :

            M ()=[pic], feltéve, hogy [pic] abszolút konvergens.

A várható érték tulajdonságai

      a,. M (C)=C                      (konstans várható értéke önmaga)
      b,. M (C * x) = C M ()                 (C valós szám)
      c,. M (x + ) = M() + M()
      d,. M (x*) = M() *M(), ha  és  független valószínűségi változók

Szórás: A valószínűségi változó várható értéke  körüli  ingadozását  méri  a
szórás.  Ennek  négyzete  a  szórásnégyzet,  amely  ?   és   M(?)   eltérése
négyzetének várható értéke.
                           D2(x )= M(x2) - [M(?)]2

                 Diszkrét esetben : D2(?)= [pic] - ([pic])2
                 Folytonos esetben : D2(?)= [pic] - ([pic])2

Várható érték :  Ha  egy  valószínűségi  változóval  kapcsolatban  független
kísérleteket  hajtunk  végre,  akkor  a  valószínűségi  változó  ezek  során
felvett értékei egy meghatározott számérték körül ingadoznak. Ha  a  felvett
értékek  számtani  közepét  képezzük,  akkor  ez   ugyanezen   érték   körül
ingadozik, mégpedig minél több  értékből  képezünk  átlagot,  annál  kisebbé
válik az ingadozás. Ezt az - elméleti - értéket, mely körül  a  tapasztalati
értékek ingadoznak várható értéknek nevezzük.

Ha  diszkrét valószínűségi változó :
xk (n=1; 2; ....) értékeket pk valószínűséggel veszi fel : M (x) = [pic]

Ha  folytonos valószínűségi változó :

                                 M ()=[pic]