MATEMATIKA
ÉRETTSÉGI ÍRÁSBELI TÉTEL MEGOLDÁSAI
                                    1999.
                           Vissza a feladatsorhoz
      1. (721.) Határozza meg a következő egyenlet valós megoldásait!
                       (3x-7) / (x+5) = (x-3) / (x+2)
      Megoldás:
      Mivel a nevezőben nem állhat 0, x nem egyenlő -5 és x nem egyenlő -2. 
      (1 pont)
      Mindkét oldalt szorozva a nevezők szorzatával, majd a kapott
      egyenletet rendezve a
                              2x2 - 3x + 1 = 0
      másodfokú egyenlethez jutunk.  (3 pont)
      Ennek gyökei: x1 = 1, x2 = 1/2  (2 pont)
      Mindkét gyök kielégíti az eredeti egyenletet.  (2 pont)
      Összesen: 8 pont
       2. (3329.) Egy kör átmérőjének végpontjai (-1;-1) és (7;5). Írja fel
      a kör egyenletét!
      Megoldás:
      Az átmérőt alkotó szakasz O felezőpontjának, azaz a kör középpontjának
      a koordinátái:
                             O (3;2).  (3 pont)
      A kör sugara az átmérő hosszának a fele:
                                   (3 pont)
      A kör egyenlete tehát: (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25  (3 pont)
      Összesen: 9 pont
      3. (2988.) Mely valós x értékekre igaz a következő egyenlet?
                 (sin x - 2 cos x)2 + (cos x - 2 sin x)2 = 3
      Megoldás:
      A négyzetre emelést elvégezve, és a kapott tagokat csoportosítva a
      következő egyenlethez juthatunk:
     sin2 x + cos2 x + 4 cos2 x + 4 sin2 x - 8 sin x cos x =3  (3 pont)
      A sin2 x + cos2 x = 1 azonosság felhasználásával ebből ezt kapjuk:
                      2 - 8 sin x cos x = 0.  (3 pont)
      Felhasználva, hogy 2 sin x cos x = sin2 x, azonos átalakítással
                           sin2 x = 1/2  (3 pont)
      Ebből
       2x = (p /6) + 2kp , azaz x1 = (p /12) + kp , k Î Z,   (2 pont)
       illetve 2x = (5p /6) + 2np , azaz x2 = (5p /12) + np , n Î Z.  
                                   (2pont)
      A kapott gyökök kielégítik az egyenletet.   (1 pont)
       
      Összesen: 14 pont
      4. (2270.) Egy 12 cm élhosszúságú kocka minden csúcsánál levágunk a
      kockából egy olyan háromoldalú gúlát (tetraédert), amelynek oldalélei
      a kockaélek 4 cm hosszú darabjai. Mekkora a megmaradt test térfogata
      és felszíne?
      Megoldás:
      Az ábrán a kocka egyik csúcsánál szemléltettük a levágott tetraédert.
      Egy ilyen tetraédert 3 egybevágó, egyenlő szárú derékszögű háromszög
      határol, ezek befogói 4 cm hosszúak.  (2 pont)
      A tetraéder negyedik lapja (másképp mondva a gúla alapja) egy 4[pic]
      oldalú szabályos háromszög.  (2 pont)
      Egy ilyen tetraéder térfogata:   
      (2 pont)
      A kocka térfogata: 123 = 1728 cm3,  (1 pont)
      a kockából 8 tetraédert vágunk le, tehát a megmaradt test térfogata:
                  1728 - 8*(32/3) = 1642,67 cm3.   (2 pont)
      A kocka felszíne:
                         6*122 = 864 cm2.  (1 pont)
       
      Ebből miden csúcsnál elveszünk 3 darab 4 cm befogójú, egyenlő szárú
      derékszögű háromszöglapot, ezek területet:
                     8*3*(1/2) *42 = 192 cm2,  (2 pont)
      helyükre lép a maradék test felszínén minden csúcsnál egy-egy 4
      [pic]cm oldalú szabályos háromszög.
      Ezek együttes területe:  
      (2 pont)
      Így a maradék test felszíne: 864 - 192 + 110,85 = 782,85 cm2   
      (2 pont)
      Összesen: 16 pont
       5. (3511.) Hány jegyű szám a 10 első 50 pozitív egész kitevőjű
      hatványának a szorzata?
      Megoldás:
      Az egyenlő alapú hatványok szorzatára vonatkozó azonosság
      felhasználásával:
            101 * 102 * 103 *.*1050 = 101+2+3+.+50 =    (3 pont)
                             = 101275  (3 pont)
      A kapott szám tehát 1276 jegyű.   (3 pont)
      Összesen: 9 pont
      6. (2476.) Közelítő törtek használata nélkül számítsa ki a következő
      kifejezések értékét!
      Megoldás:
      a) 3 pont  b) 5 pont  c) 4 pont
      Összesen: 12 pont
      7. (43.) Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és mértani
      közepe között? Igazolja az összefüggést!
      Értékelés:
      Helyes és teljes bizonyításért (akár algebrai, akár geometriai
      módszereket használ) 12 pontot kell adni!
      Hiányos indoklás esetén a pontszámot arányosan csökkentsük!
      Összesen: 12 pont
                                 - vissza -