MATEMATIKA
ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK MEGOLDÁSAI - B
                                    1999.
                           Vissza a feladatsorhoz
A MEGOLDÁSOK ÉRTÉKELÉSÉNEK ÁLTALÁNOS SZEMPONTJAI
1. Bármely helyes megoldásért a közölt pontszámmal azonos pontszámot kell
adni, de minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető. A közölt
részpontszámok tovább nem bonthatók. Az útmutatóban nem szereplő
megoldásokat a közölt megoldásoknak megfelelően értelemszerűen kell
pontozni.
2. A megoldásokban csak azok a lépések pontozhatók, amelyek valamely
befejezhető megoldás részeit képezik.
3. Ha a vizsgázó a feladatot félreérti és más feladatot old meg, akkor erre
nem kaphat pontot. Ha a feladatban nem szereplő feltételt is felhasznál,
akkor csak azokra a részletekre kaphat pontot, amelyek ennek a további
feltételnek a felhasználási helyét megelőzik. Ha pedig a feladat valamelyik
adatát hibásan írja le, és amiatt a megoldás útja más lesz, akkor csak azok
a lépések értékelhetők, amelyek az eredeti feladat megoldásához is
szükségesek.
4. Számítási (műveleti) hibák esetén azokon a helyeken, ahol az útmutató
nem ad erre külön utasítást, a következőképpen kell eljárni: arra a
részletre, amelyben a vizsgázó a hibát elköveti, nem kap pontot; minden
további részletre teljes pontszámot kap, ha abban elvileg helyesen jár el,
és olyan részletet dolgoz ki, amely szükséges a feladat megoldásához. Nem
kaphat azonban pontot olyan részletre, amelyre nincs szükség a feladat
megoldásához.
5. Ahol a számítás pontos eredménye csak irracionális számokkal - pl.
gyökös alakban - írható fel, ott zárójelben annak tizedes tört alakú
közelítő értéke is meg van adva. Akár az egyik, akár a másik alakban adja
meg a vizsgázó a helyes eredményt, azt teljes értékűnek kell elfogadni; a
vizsgázó által kiszámított közelítő érték akkor tekinthető helyesnek, ha
szabályos kerekítéssel megegyezik a közölt közelítő értékkel.
6. Amit a vizsgázó áthúz, azt érvénytelennek kell tekinteni (akkor is, ha
jó). Ha egy számítást többször is újrakezd, de egyik változatot sem húzza
át, akkor a legutóbbit kell figyelembe venni.
A FELADATOK MEGOLDÁSA ÉS A MEGOLDÁSOK ÉRTÉKELÉSE
1. Ha a kétjegyű szám tízeseinek a számát x, az egyeseinek a számát y
jelöli, akkor a kétjegyű szám l0x+y. A feladat feltételeit felhasználva a
következő egyenletrendszert kapjuk:
l0 x + y = 5 xy + 2,
l0 x + y - (l0y + x) = 45
(3 pont)
A második egyenletből y-t kifejezve kapjuk, hogy y = x - 5.
(1 pont)
Ezt az első egyenletbe behelyettesítve azonos átalakítások után az 5x2 -
 36x + 7 = 0
(2 pont)
egyenlethez jutunk, amelynek gyökei: x1 = 7, x2 = 1/5.
(1 pont)
Mivel x számjegy, ezért x = 7.
(1 pont)
Ekkor y = 2.
(1 pont)
A kétjegyű szám 72, amely a feladat feltételeit valóban kielégíti.
(1 pont)
összesen: 10 pont
Megjegyzés. Teljes megoldásnak fogadjuk el, ha a vizsgázó megállapítja az
y=x-5 és x nem egyenlő 0 feltételt (4 pont), észreveszi, hogy ennek alapján
a szóba jövő számok 61, 72, 83, 94 lehetnek ((3 pont)), majd ezekből
próbálgatással kiválasztja az egyetlen megoldást: 72-őt ((3 pont)).
2. Ha d a számtani sorozat különbsége, akkor az első öt elem:
1, 1+d, 1+2d, 1+3d, 1+4d.
(2 pont)
A következő öt elem:
1+5d, 1+6d, 1+7d, 1+Bd, 1+9d.
(2 pont)
Az első öt elem összege S + l0d, a következő öt elem összege 5 + 35d.
A feladat feltételei szerint az
5+l0d-1/4(5+35d) egyenlethez jutunk.
(2 pont)
Ennek megoldása:
d = -3.
(2 pont)
Ekkor a számtani sorozat első öt eleme:
1, -2, -5, -8, -11.
(2 pont)
E sorozat valóban kielégíti a feladat feltételeit.
(1 pont)
összesen: 11 pont
3. A cos2x=cos2x-sin2x azonosság felhasználásával összevonás és rendezés
után a
15cos2x-8sin2x-5sinx-27/4=0
egyenletet kapjuk.
(2 pont)
Ebből a cos2x=1-sin2x helyettesítéssel a
92sin2x+20sin x - 33 = 0
egyenlethez jutunk.
(2 pont)
Innen sin x = 1/2 vagy sin x = -33/46.
(2 pont)
A sin x = -33/46 egyenletnek nincs, a sin x = 1/2 egyenletnek van gyöke a
[0,p] intervallumban.
(2 pont)
A sin x = 1/2 - nek a [0,p] intervallumba eső gyökei:

(2 pont)
A az eredeti egyenletnek a megoldásai.
(1 pont)
Összesen 11 pont
4. A (2x-y)2 = 9/4 egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonva a
egyenletekhez jutunk.
(2 pont)
Innen y=2x+3/2 ill. y=2x-3/2.
(1 pont)
Ha y = 2x + 3/2, akkor a egyenletbe való behelyettesítés után a egyenletet
kapjuk, amelynek a megoldása csak a 3x = 1-ből adódik, azaz x = 0.
(2 pont)
Mivel y = 2x + 3/2, ezért y = 3/2
(1 pont)
Ha y = 2x - 3/2 , akkor az előzőekhez hasonlóan az 1/9 - 32x + 3x - 4 = 0
egyenletet kell megoldani,
(2 pont)
ahonnan 3x = 3, azaz x = 1, és y = 1/2.
(1 pont)
Így az egyenletrendszer megoldásai: a (0; 3/2 ) és az (1; 1/2 ) számpár.
(1 pont)
A C (2;1) középpontú 2 egység sugarú kör belsejében azok és csak azok a
pontok vannak, amelyeknek koordinátái kielégítik az (x-2)2+(y-1)2 <4
egyenlőtlenséget.
(2 pont)
Ennek az egyenlőtlenségnek csak az (1; 1/2) koordinátájú pont tesz eleget.
(1 pont)
Összesen: 13 pont
Megjegyzés. Teljes megoldásnak fogadjuk el, ha a vizsgázó megállapítja,
hogy az y = 2x + 3/2 egyenes nem metszi az adott kört, és ezért az
exponenciális egyenletbe csak y = 2x - 3/2 visszahelyettesítését végzi el,
majd ebből kiszámítja a helyes megoldást.
5. Ha az adott egyenletben a négyzetes tag együtthatója nulla, akkor az
egyenlet elsőfokú, és egy megoldása van,
(1 pont)
vagyis, ha 2 + log2p = 0, azaz p = 1/4
(1 pont)
Ha 2 + log2p &ne; 0, akkor az egyenlet. másodfokú, és egy megoldása van, ha
a diszkriminánsa nulla
(2 pont)
azaz, ha
D = (6 log2p)2- 4(2+log2p)(4 log2p+1) = 0.
(2 pont)
A kijelölt műveleteket elvégezve, a következő egyenletet kapjuk:
5(log2p)2- 9 log2p - 2 = 0,
(2 pont)
amelyből log2p = 2, ill. log2p = - 1/5 (=- 0,2).
(2 pont)
Innen p = 4 ill. p = (= 2-0,2 = 0,8706).
(2 pont)
Összefoglalva: az adott egyenletnek egy megoldása van, ha p = 1/4, vagy p =
4, vagy p =
(1 pont)
Összesen: 13 pont
6.Használjuk az ábra jelöléseit! Legyen OlEl = r és O2E2 = R az O1 ill. O2
középpontú körök sugara, R>r. Továbbá O1O2 = 12; E1E2 = 2 és F1F2 = 4.
Az E1E2 közös külső érintőszakasszal húzzunk párhuzamost O1-ből, ez az O2E2
szakaszt E-ben metszi, ahol OlE = E1E2 és O2E = R - r.
(3 pont)
Az O1EO2 derékszögű háromszögre alkalmazzuk a Pitagorasz - tételt, így az
(1) (R-r)2 = 144 - (2)2 egyenletet kapjuk.
(1 pont)
Az F1F2 közös belső érintőszakasszal is húzzunk párhuzamost O1-ből, ez az
O2F2 egyenest F-ben metszi, ahol O1F = F1F2 és O2F = R + r.
(3 pont)
Az O1FO2 derékszögű háromszögből
(2) (R+r)2 = 144 - (4)2 egyenlethez jutunk.
(1 pont)
Az (1) és (2) egyenletekből az
R-r=2 és az
R + r = 4 egyenleteket kapjuk.
(1-1 pont)
Ezen egyenletek közös megoldása: r = 2-1 és R=2+1.
(2 pont)
Így az O1 és O2 középpontú körök sugara 2-1 és 2+1 .
(1 pont)
Összesen: 13 pont

7. Használjuk az ábra jelöléseit! Legyen az ABCD téglalap szögfelezői
alkotta négyszög EFGH, a téglalap két oldala AB = a, BC = b, AEFB ahol
a > 2b.
A téglalap szögfelezői által alkotott EFGH négyszög szemközti oldalai
párhuzamosak, tehát ez a négyszög paralelogramma.
(1 pont)
A téglalap oldalfelező merőlegesei - egyben a szimmetria tengelyei - az
EFGH paralelogramma átló egyenesei, merőlegesek egymásra, ezért ez a
paralelogramma rombusz.
(2 pont)
Az FKB és az FOG háromszögek egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Befogóik
hossza: FK = KB = b/2 és OF = OG = (a-b)/2 ,
(1 pont)
vagyis a rombusz átlói egyenlőek, a hosszuk a-b, az EFGH négyszög négyzet.
E négyzet területe az (a-b)2/2, az ABCD téglalap területe ab
(2 pont)
A feladat feltétele miatt
(1) ab=(a-b)2/2
(1 pont)
Az (1) egyenletet rendezve és a2-tel elosztva a
egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai: b/a=2
Legyen a téglalap átlóinak hajlásszöge a COB=a,
ahol 0o < a < 90o, és a COK = a/2
(1 pont)
A COK derékszögű háromszögből tg a/2 = b/a, a kezdeti a > 2b miatt b/a <
1/2 is teljesül.
Mivel tg a/2 = b/a, ezért a feladat megoldása tg a/2 = 2 -
innen a/2 = 15o.
(1 pont)
A téglalap átlóinak hajlásszöge 30o-os.
(1 pont)
Összesen:14 pont
8. Az (1) 4x+y+4z=3 és a (2) 3x+6y-4z=4 egyenlőségeket felhasználva az
adott kifejezést egyismeretlenes kifejezéssé alakítjuk, amelynek a
legkisebb és a legnagyobb értékét a kezdeti feltételek mellett határozzuk
meg.
Az (1) és (2) egyenlőség megfelelő oldalainak összeadása, majd
egyszerűsítés után x+y =1-et, azaz
(3) y = 1-x-et kapunk.
(2 pont)
Az (1) egyenlőséget 6-tal beszorozzuk, ebből a (2) egyenlőség megfelelő
oldalait kivonjuk. Ekkor egyszerűsítés után a 3x+4z = 2 egyenlőséghez
jutunk, és ebből
(4) z = (2-3x)/4.
(2 pont)
A 4x-3y+8z kifejezésbe az y = 1-x és a z = (2-3x)/4 kifejezéseket
helyettesítve az összevonások elvégzése után az x+1 egyismeretlenes
kifejezés adódik.
(3 pont)
A feladat feltételei szerint 0 x 0 y 0 z.
A (3) miatt 0 x 1
(2 pont)
A (4) miatt 0 2 - 3x, azaz 0 x 2/3
(2 pont)
Ezért x-re 0 x 2/3 adódik, azaz 1 x+1 5/3.
Ekkor az adott kifejezésre 1 4x - 3y + 8z 5/3,
(3 pont)
Így a 4x - 3y + 8z kifejezés legkisebb értéke 1, a legnagyobb értéke 5/3
(1 pont)
Összesen: 15 pont
                                 - vissza -