MATEMATIKA
FELVÉTELI MEGOLDÁSOK "A" VÁLTOZAT
                                    1999.
                           Vissza a feladatsorhoz
      1. Az egyenlet értelmezve van, ha \ {-38, -3,3}. A második tag (-1)-
      gyel való bővítése után az egyenlet:
      A közös nevező: (x-3)(x+3)(x+38)
      (2 pont)
      Az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel szorozzuk:
      x+38+(x+3)(x+38)=48(x+3),
      (2 pont)
      majd a műveletek elvégzése, összevonás és rendezés után az
      x2-6x+8=0
      másodfokú egyenletet kapjuk.
      (2 pont)
      Az egyenlet gyökei: x1=2 és x2=4.
      (2 pont)
      Mindkét gyök kielégíti az eredeti egyenletet.
      (1 pont)
      Összesen: 9 pont
      Megjegyzés: az ellenőrzésért adott (1) pont akkor is jár, ha az
      értelmezési tartomány helyes megállapítása mellett az ekvivalens
      átalakításra is utal a vizsgázó.
      2
      Minden konvex négyszög területe megkapható a képlettel, ahol e és f az
      átlók hosszát jelöli és j az általuk bezárt szög.
      (1 pont)
      Esetünkben 240 = = 240sinj,
      (2 pont)
      ahonnan sin j=1, azaz j = 90o.
      (1 pont)
      Mivel az átlók merőlegeseit egymásra, az adott paralelogramma rombusz,
      vagyis oldalai egyenlő hosszúak, a = b.
      (2 pont)
      Az AFB derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt, azt kapjuk,
      hogy a rombusz oldalai
      egység hosszúak.
      (2 pont)
      A rombusz átlói egyben szögfelezők is, így tg (a/2)=8/15, ahonnan
      a=56,14o.
      (2 pont)
      b az a kiegészítő szöge, b=123,86o.
      (1 pont)
      Összesen: 11 pont
      Megjegyzés: A rombusz szögei a területére felírt t = a2 sin a képlet
      alapján is kiszámíthatók. Ezt alkalmazva 240 = 289 sin a, ahonnan sin
      a = (240/289) és így a = 56,14o vagy a = 123, 86o adódik. Tehát a
      rombusz hegyesszögei 56,14 és tompaszögei 123,86 fokosak.
      Természetesen ezért a megoldásért is jár a (3) pont.
      3.
      Az adott egyenesek párhuzamosak, mert mindkettőnek 1 a meredeksége.
      (2 pont)
      A keresett kör C. (u.; v) középpontja az adott egyenesekkel
      párhuzamos, azoktól egyenlő távolságra lévő egyenesen van.
      (2 pont)
      A középpontot tartalmazó egyenes egyenlete y=x+1, mert 1 a meredeksége
      és az y tengelyt 3 és (-1) számtani közepénél metszi.
      (2 pont)
      A középpont koordinátái tehát {u; u+1).
      Mivel az adott egyenesek az y tengellyel 45o-os szöget zárnak be és
      avval való metszéspontjaik távolsága |3-(-1)|=4 egység, ezért
      távolságuk egység. Így a keresett kör r sugara e távolság fele:
      egység.
      (2 pont)
      A keresett kör egyenlete tehát (x-u)2+(y-(u+1))2=2 alakú, és mivel
      kielégíti a (0;1) pont, ezért u2+u2=2, azaz u=1, vagy u=-1. A kör
      középpontjának koordinátái tehát Cl(1; 2), vagy C2(-1, 0).
      (2 pont)
      Két kör tesz eleget a feltételeknek, és ezek egyenlete
      (x-1)2 + (y-2)2 = 2, illetve (x+1)2 + y2 = 2
      (2 pont)
      Összesen: 12 pont
      4.
      A függvény legbővebb értelmezési tartománya a
      egyenlőtlenség rendszer megoldáshalmaza.
      (2 pont)
      A rendszer első egyenlőtlenségének a megoldása:
      a) eset: vagy b) eset:
      (2 pont)
      a) eset:
      (2 pont)
      b} eset:
      (2 pont)
      A rendszer második egyenlőtlenségének a megoldása:


      (1 pont)
      Így az egyenlőtlenség rendszer megoldása, azaz a függvény legbővebb
      értelmezési tartománya:
      x<-5 vagy.
      (3 pont)
      Összesen: 12 pont
      5.
      Felhasználva a sin 2x = 2 sin X. cos x
      (1 pont)
      és a
      cos2x = cos2x - sin2x
      (1 pont)
      trigonometrikus azonosságokat, az eredeti egyenlet a
      2 sin x cosx(cosx + 1) + sinx(cos2x - sin2x - 5) = 0 ekvivalens alakra
      hozható.
      A közös sin x tényezőt kiemelve kapjuk, hogy
      sin x{3 cos2x + 2 cos x - sin2x - 5) = 0 .
      (2 pont)
      A sin2 x = 1 - cos2 x helyettesítést elvégezve az egyenlet
      (1 pont)
      2 sin x(2 cos2 x + cos x - 3) = 0 alakra hozható.
      (1 pont)
      A szorzat nulla, ezért valamelyik tényezője nulla, tehát vagy sin x =
      0, vagy
      2 cos2 x + cos x - 3 = 0.
      (1 pont)
      A sin x = 0 egyenlet megoldása
      x = kp, ahol.
      (1 pont)
      A 2 cos2 x + cos x - 3 = 0 egyenletet megoldva cos x-re:
      cos x = 1, illetve cos x = - 2 adódik.
      2 pont
      Az első egyenlőség akkor teljesül, ha
      x = 2lp, ahol,
      (1 pont)
      míg a második egyenlőség semmilyen valós számra sem teljesül.
      (1 pont)
      Összefoglalva, az x = kp    ()
      számok elégítik ki az egyenletet, hiszen ekvivalens átalakításokat
      végeztünk a megoldás során.
      (1 pont)
      Összesen: 13 pont
6.
      Ha egy számtani sorozat első tagját a, differenciáját pedig d jelöli,
      akkor az első n tag összege:


      (1 pont)
      Ezért a feladat feltételei szerint teljesülnek az
      n(2a+(n-1)d)=n/2(2a+(n-1)(d+3)),
      (2 pont)
      és az
      n(2a+(n-1)d)=n/2(2(4a)+{n-1)d) egyenlőségek.
      (2 pont)
      Az első egyenlőségből azt kapjuk, hogy
      2a=(n-1)(3-d),
      (2 pont)
      míg a másodikból az következik, hogy
      2a=(n-1)(d/2).
      (2 pont)
      Mivel a > 0, ezért és így
      (2 pont)
      (d/2)=3-d , azaz d=2.
      (2 pont)
      Tehát az eredeti sorozat differenciája 2.
      Összesen: 13 pont
      7.
      Legyen x1 és x2 a két zérushely. A másodfokú egyenlet gyökei és
      együtthatói közötti összefüggés alapján
      (1) xl*x2 = p3 + 3p2 + 2p.
      (3 pont)
      Ugyanakkor a feladat szerint
      (2) x1*x2 = f2(0)=(p3 + 3p2 + 2p)2.
      (3 pont)
      (1) és (2) alapján
      (p3 + 3p2 + 2p)2 = p3 + 3p2 + 2p.
      (2 pont)
      Ebből adódik, hogy a p3 + 3p2 + 2p kifejezés értéke csak 0 vagy 1
      lehet.
      (3 pont)
      Az x2 + 2x + p3 + 3p2 + 2p = 0 egyenlet diszkriminánsa: 4-4{p3 + 3p2 +
      2p).
      A p3 + 3p2 + 2p = 1 esetben a diszkrimináns 0, így nincs két különböző
      zérushely, p3 + 3p2 + 2p = 0 esetben pedig a diszkrimináns 4, azaz két
      különböző zérushelye van f-nek.
      (2 pont)
      Ha p3+3p2+2p=p(p2+3p+2)=0,
      akkor p=0; p= -1; vagy p= -2.
      (2 pont)
      Összesen: 15 pont
      Megjegyzés: A *-gal jelzett 2 pont jár, ha diszkrimináns kiszámítása
      nélkül az f (x) = x2+2x, illetve az f {x)=x2+2x+1 zérushelyeinek
      vizsgálatából jut a vizsgázó a p3+3p2+2p=0 egyenletre.
      8. Első megoldás.


      A középponti és kerületi szögek tétele alapján az AB ívhez tartozó
      középponti szög 60o, ezért a kör K középpontja, az A és B pontok egy
      egyenlő oldalú
      háromszög csúcspontjai. Tehát r = AB = 5 egység.
      (2 pont)
      Az ábra PA = a és PB = b jelöléseit használva, a PAB háromszögben a
      koszinusz-tétel alapján: r2=a2+b2-2ab cos 30o = a2+b2-ab.
      (1 pont)
      Ebből teljes négyzetté alakítással kapjuk, hogy r2=(a+b)2-
      (2+)ab, amiből átrendezéssel az (a+b)2=r2+(2 +)ab összefüggéshez
      jutunk.
      (3 pont)
      Tekintettel arra, hogy a+b pontosan akkor maximális, ha (a+b)2
      maximális, a kapott összefüggés szerint a+b pontosan akkor maximális,
      ha ab maximális.
      (1 pont)
      A PAB háromszög területe: tPAB = (ab sin30o/2) = (ab/4), így ab
      pontosan akkor maximális, ha tPAB maximális.
      (2 pont)
      A PAB háromszög AB oldala r hosszúságú, ezért területe akkor lesz a
      legnagyobb, ha az AB oldalhoz tartozó magasság a lehető legnagyobb.
      (2 pont)
      Tehát a P pontnak az AB szakasztól való legnagyobb távolságát kell
      keresni, mert ez a PAB háromszög AB oldalhoz tartozó magassága. Így a
      P pont az AB-re merőleges átmérő AB-től távolabbi végpontja. Ekkor a
      PAB egyenlőszárú háromszög magassága: r+r(/2) = r[(2+[pic])/2] =
      5[(2+[pic])/2]
      (2 pont)
      és
      PA=PB==,
      tehát PA+PB=5(+[pic]) [pic]19,32 egység.
      (2 pont)
      Összesen: 15 pont
                                 - vissza -