Az egyenlet fogalma és osztályozása:
Egyenletet kapunk,ha két kifejezést egyenlôségjellel összekötünk.
Az olyan egyenletet,amely a benne elôforduló betµk minden számértéke
mellett érvényes,azonosságnak nevezzük.
Pl:a+a=2*a*d.
Az ismeretlen minden olyan értéke,amelyre az egyenlôség fenn áll,az
egyenlet megoldása vagy gyöke.
Az egyenleteket az ismeretlenek száma szerínt(egy két és n ismeretlenes )és
az elôforduló ismeretlenek legmagasabb hatványa szerínt(elsô második és
enned fokú) osztályozzuk.
Az egyenletek gyökeit általában az egyenletek rendezésével,átalakításával
határozzuk meg.
Egyenlet átalakítása közben arra törekszünk,hogy minden átalakítás
egyenértékµ egyenletet hozzon létre.
Egyenértékµ egyenletet kapunk akkor,ha az egyenlet mind két oldalát
ugyanazzal a nullától különbözô számmal szorozzuk vagy osztjuk,ha mind két
oldalához ugyanannyit hozzáadunk,ha mindkét oldalából ugyanannyit
elveszünk.
Elsôfokú (lineáris ) egyismeretlenes egyenlet:
Ćltalános alapja:
a*x+b=0.
az egyenlet megoldásának lépései:
Eltávolítjuk a törteket,ha vannak:
Elvégezzük a kijelölt mµveleteket,
felbontjuk a zárójelet,rendezzük az egyenletet,

összevonjuk az egynemµeket,elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét
oldalt és elvégezzük a próbát,vagyis behejettesítünk:
(9*x+7)/2+(x-2)/7=36+x=14,
Ez a közösnevezô (9*x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)*14.
Zárójel felbontása:
63*x+49 +2*x-4=504+14*x
(rendezés ):
63*x+2*x-14*x=504-49+4.
Összevonás:
51*x=459+517 x=459+51 x=9.
Behejettesítés:
(9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9.
44+1=45.
Elsôfokú (lineáris ) kétismeretlenes egyenletrendszer:
Ćltalános alakja:
a*x+b*y=d ahol x és y ismeretlen mennyiségek.
A két ismeretlen meghatározásához egyidejµleg fennálló két elsôfokú
kétismeretlenes egyenlet szükséges,
melyek egymástól függetlenek és nincsenek ellent mondásban egymással.
Az elsôfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldására három eljárást
alkalmazhatunk.
Hejettesítô módszer:
Valamelyik egyenletbôl kifejezzük az egyik ismeretlent,s azt a második
egyenletbe ugyanannak az ismeretlennek a hejére behejettesítjük,majd az így
kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk.
Az így kapott értéket bármelyik egyenletbe behejettesítjük és kiszámítjuk a
másik ismeretlent is:
i*x-2*y=-4*yy*2*x+y=-3.
i*x=2*y-4*a ezt behejettesítjük a második egyenletbe:
(2*y-4)+y=-3.
4*y-8+y=-3.
5*y=5.
y=1
A kiszámított y értéket behejettesítjük a második egyenletbe:
2*x+1=-3
2*x=-4.
x=-2.
Tehát az egyenletrendszer gyökei:
x=-2*y=1*d.
Egyenlô együtthatók módszere:
Az egyenleteket egyegy olyan számmal megszorozzuk,hogy a kiküszöbölendô
ismeretlen mindkét egyenletben megegyezzen:
i*3*x+7*y=17 ii *2*x+9*y=20.
Az elsô egyenletet -2vel,a másodikat 3mal szorozzuk s a két egyenlet
megfeelelô oldalait összeadjuk illetve kivonjuk egymásból:
i *-6*x-14*y=-34 ii *6*x+27*y=60 13*y=26 y=2.
Az y értékét behejettesítjük pl a második egyenletbe:
2*x+9*2=20 2*x=2 x=1.
Tehát az egyenletrendszer gyökei:
x=1 y=2.
Összehasonlító módszer:
Mindkét egyenletbôl kifejezzük ugyanazt az ismeretlent s a két kifejezést
egy egyenletté kapcsoljuk össze,és kiszámítjuk a benne szereplô
ismeretlent.
Ezt a kapott gyököt bármelyik eredeti egyenletbe behejettesítve kiszámítjuk
a másik ismerretlent:
i *x-3*y=-12 ii *y+2*y=13 i *x =3*y-12 ii *x =13-2*y 3*y -12=13-2*y
5*y =25 y=5
Ez az elsô egyenletbe behejettesítve:
x-3*5=-12 x=3.
Tehát az egyenlet gyökei:
X=3*y=5.